Binomialverteilung und Gauß'sche Normalverteilung
- Mit den roten Schiebereglern kannst Du die Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer Zufallsvariablen X darstellen, die Bn;pverteilt ist.
Verändere die Werte für n und p und beobachte, wie sich die
Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert.
Da die Balken die Breite 1 haben, gibt die Fläche eines Balkens
bei xi übrigens direkt die Wahrscheinlichkeit P(X=xi)
an.
- Die blau dargestellte Funktion mit dem Hochpunkt bei ungefähr
(0|0,4) heißt Gauß'sche Normalverteilung . Mit dem einen
blau gezeichneten Schieberegler lässt sich der Graph um H nach
rechts verschieben. Mit dem zweiten Schieberegler wird die Funktion
gleichzeitig mit dem Streckfaktor S in Richtung der x-Achse
und dem Streckfaktor 1/S in Richtung der y-Achse gestreckt.
Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen und gestreckten
Funktion, wenn die Gleichung der Gauß-Funktion phi(x)=
ist?
- Wähle jetzt n = 20 und p= 0,5. Verschiebe und strecke die Normalverteilung
so, dass sie möglichst gut zur Binomialverteilung "passt".
Vergleiche dann den Streckfaktor S und die Verschiebung H mit dem Erwartungswert
und der Varianz der zugrundeliegenden Binomialverteilung. Schreibe
Deine Vermutung auf. Überprüfe die Vermutung für
weitere Werte für n und p.
- Mit der Fläche unter der "angepassten" Normalverteilung
in einem bestimmten Intervall lässt sich dann näherungsweise
die Wahrscheinlichkeit P(a<=X<=b) der Binomialverteilung berechnen,
wobei der exakte Wert im obigen
Diagramm ja anschaulich als Gesamtfläche der Balken für xi
mit a<=xi<=b dargestellt wird.
Du kannst die Punkte A und B auf der x-Achse verschieben, um ein Intervall
vorzugeben. Das bestimmte Integral der Funktion in diesem Intervall
wird im Geogebra-Fenster als blaue Fläche angezeigt! Stelle die
Schieberegler entsprechend ein und fülle die Tabelle aus.
Übertrage sie ins Heft.
Hinweis zum ersten Tabelleneintrag: Wenn man für die Koordinaten
der Punkt A und B genau (20|0) und (28|0) wählt,
ist die Fläche unter der Kurve zu klein. Warum?
n |
p |
a |
b |
Näherung für P(a<=X<=b) |
50 |
0,5 |
20 |
28 |
|
50 |
0,5 |
25 |
30 |
|
50 |
0,4 |
14 |
18 |
|
100 |
0,3 |
26 |
34 |
|
100 |
0,3 |
35 |
40 |
|
- Hausaufgabe: Vergleiche die erhaltenen Näherungswerte mit den
exakten Werten, die Du mit Hilfe der Tabellen für die Binomialsummenfunktion
erhältst.
Erstellt mit GeoGebra
von H. Kociemba |