Einführung

Diese Seite gibt keine umfassende Einführung in Determinanten, sondern zielt auf Schüler ab. Daher beschränke ich mich weitgehend auf 2x2- und 3x3-Determinanten, so wie sie in der analytischen Geometrie auftauchen.

2x2 - Determinanten

  1. Vertauscht man die Zeilen mit ihren Spalten (d.h. man spiegelt die Matrix an der Hauptdiagonalen), so bleibt der Wert gleich.
  2. Beim Vertauschen der beiden Zeilen (Spalten) ändert die Determinante das Vorzeichen.
  3. Werden alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit einer reellen Zahl a multipliziert, so multipliziert sich die Determinante ebenfalls a.
  4. Wenn (mindestens) eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist, besitzt die Determinante den Wert null:
    1. Alle Elemente einer Zeile (Spalte) sind null.
    2. Beide Zeilen (Spalten) stimmen überein.
    3. Die beiden Zeilen (Spalten) sind einander proportional (d.h. sind linear abhängig).
  5. Der Wert einer 2-reihigen Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) addiert.
  6. Die Determinante einer 2-reihigen Dreiecksmatrix A hat den Wert det(A) = a11·a22.

nxn - Determinanten

Es werden nur die ergänzenden Eigenschaften im Vergleich zu einer 2x2-Determinante aufgelistet.

  1. Wenn (mindestens) eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist, besitzt die Determinante den Wert null:
    1. Alle Elemente einer Zeile (Spalte) sind null.
    2. Zwei Zeilen (Spalten) stimmen überein.
    3. Zwei Zeilen (Spalten) sind einander proportional (d.h. ihre Elemente stehen in einem festen Zahlenverhältnis zueinander).
  2. Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) addiert.

  3. Wenn eine Zeile (Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (Spalten) darstellbar ist, hat die Determinante den Wert null.

Formelsammlung

Determinanten werden wie folgt berechnet:

  1. Ist A vom Format (2,2), dann ist det(A) = a11 · a22 - a21 · a12
  2. Ist A vom Format (3,3), dann ist
    det(A) = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a31·a22·a13 - a32·a23·a11 - a33·a21·a12
    Merken lässt sich das einfacher nach er Regel von Sarrus:


    Die Regel von Sarrus gilt aussschließlich für 3x3-Determinanten!
  3. Ist A vom Format (n,n), dann ist det(A) =
    1. Entwicklung nach der i-ten Zeile
    2. Entwicklung nach der j-ten Spalte

Rechner

Da in der Schule ausschließlich 2x2 und 3x3 Matrizen vorkommen, beschränke ich mich darauf.

2 x 2 Determinante

Lösung

3 x 3 Determinante

Lösung

Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechnung der Determinante der Matrix A= nach der Entwicklungsformel.

Lösung

det(A) = 1·(-1)2·det=1·1·(3·5 - 0·(-4))=1·1·15=15

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