Vorwissen
Bevor es richtig losgeht noch eine kurze Erinnernung an ein paar wichtige Punkte.
- Es kann nicht mit Punkten sondern nur mit deren Ortsvektoren gerechnet werden.
- Ortsvektoren sind die Pfeile, die vom Ursprung bis zum jeweiligen Punkt gehen.
- Ein Punkt und sein Ortsvektor haben die gleichen Koordinaten.
P(2|0|4) und
Der Orstvektor hat den gleichen Namen wie sein Zielpunkt nur klein geschrieben. - Der Vektor vom Punkt A nach B wird durch berechnet.
- Zwei Vektoren heißen linear abhängig, wenn es eine reelle Zahl k gibt, so dass gilt:
Geradendefinition
Geradengleichung
Eine Gerade ist eine geradlinige Hintereinanderreihung von unendlich vielen Punkten. Um alle Punkte einer Gerade erreichen zu können benötigt es daher drei Dinge:
- Einen Aufpunkt A von dem aus man alle anderen Punkte geradlinig erreichen kann.
- Einen Richtungsvektor der einem die Laufrichtung vorgibt
- Einen reellwertigen Parameter r, der sagt, wie weit man in die Richtung zu laufen hat (|r|) und ob vorwärts (r>0) oder rückwärts (r<0).
Parametergleichung:
Der Aufpunkt wird durch den Stützvektor festgelegt.
Diese Schreibweise ist sehr naheliegend, da sie auch im Alltag gerne benutzt wird, wenn man nach dem Weg fragt: "Gehen sie vor bis zur Kreuzung (Stützvektor) und dann 250m (Parameter) links herum (Richtungsvektor)."
Es ist wichtig zu erkennen, dass es egal ist, welchen Punkt der Gerade man als Stützpunkt verwendet. Es ändert sich dann nur r, da man weiter oder kürzer laufen muss als früher, um zu einem anderen Punkt zu kommen.
Ebenso ist es unerheblich, ob ein bestimmten Vektor als Richtungsvektor gewählt, solange der neue Richtungsvektor vom alten Richtungsvektor linear abhängt.
Grundaufgaben
Gegeben sind die 2 Punkte A und B. Stelle die Geradengleichung auf!
- Wähle A als Stützpunkt.
- Wähle als Richtungsvektor.
Gegeben ist ein Punkt P und die Gerade g. Prüfe, ob P auf g liegt!
- Setze P und g gleich.
- Löse das lineare Gleichungssystem.
- Man muss einen einheitlichen Paramter r bekommen
oder
- Ein Punkt Q liegt auf einer Geraden mit dem Stützpunkt A, wenn der Vektor von A nach Q linear abhängig zum Richtungsvektor der Geraden ist.
Gegeben ist ein Punkt P und eine Gerade g. Stelle die Geradengleichung der Parallelen durch P zu g auf!
- Wähle P als Stützpunkt.
- Wähle ein Vielfaches des Richtungsvektors der gegebenen Geraden als Richtungsvektor der Parallelen.
Gegeben sind zwei Geraden. Berechne die Lage der Geraden zueinander und ggf. den Schnittpunkt!
Die bislang dargestellten Grundaufgaben sind meistens nur Bestandteil dieser eigentlichen Hauptfrage. Wie die Lage von Geraden effizient bestimmt werden kann, zeigt folgender Entscheidungsbaum:
Gegeben sind und
Rechner
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Einzugeben sind ein Punkt P(x|y|z) und die Gerade in der Form .
Schnitt von zwei Geraden
Einzugeben sind und
Übungsaufgaben
g: |
|
= |
|
+ r · |
|
h: |
|
= |
|
+ s · |
|
Die Lösungen können über den Rechner bestimmt werden.'
Links
- Determinanten
Rechner für Determinanten. - Lösen Lineare Gleichungssysteme